B.Verkiler a écrit:Je reprends le pb des boules avec deux apparts A et B. Dans A, il y a 2 boules blondes, dans B une boule blonde et une boule brune.
Je sonne, une boule blonde m'ouvre. Quelle est la proba pour que la prochaine qui apparaitra, dans ce même appart, soit blonde aussi?
Les possibilités initiales, équiprobables, sont :
- appart A boule 1 (blonde). Dans ce cas, il reste dans l'appart 1 blonde, donc proba que la suivante soit blonde = P1= 1
- appart A boule 2 (blonde). Dans ce cas, il reste dans l'appart 1 blonde, donc proba que la suivante soit blonde = P2 = 1
- appart B boule 1 (brune) : cas impossible après ouverture de la porte
- appart B boule 2 (blonde) : Dans ce cas, il reste dans l'appart une boule brune, donc proba que la suivante soit blonde = P3 = 0
Des 4 cas initialement possibles, il en reste trois, équiprobables. La probabilité globale que la suivante soit blonde est donc :
(1/3) * P1 + (1/3)*P2 + (1/3)*P3 = 1/3 + 1/3 + 0 = 2/3.
C'est ton résultat. Seulement voilà, tu tombes sur le même résultat que si il y avait eu qu'un seul appartement, avec 3 boules blondes et une boule brune dedans, et que si une boule blonde t'avait ouvert. Cà na pas de sens, bien entendu. Où est donc ton erreur?
Deux calculs différents peuvent donner le même résultat pour certaines valeurs de variables ("a+b" est égal à "a*b" pour a=b=2). Il n'y a rien d'insensé là-dedans.
Si deux calculs différents donnaient toujours des résultats différents, il suffirait de faire un seul test pour distinguer un programme correct d'un autre erroné. Ca se saurait.
B.Verkiler a écrit:Elle réside dans le fait que tu ne tires pas tous les enseignements du tirage, à savoir, "une boule blonde ouvre la porte". Ca, ça dit d'une part que ce n'est pas une boule brune qui a ouvert, donc que tu ne peux pas être dans le 3eme cas (appartB), et donc comme tu l'as fait tu signales que c'est un cas impossible, et d'autre part, et ça c'est ce que tu as oublié, le tirage te dit aussi qu'il ne peut y avoir plus qu'une seule boule blonde qui puisse rester dans l'appart dans le cas de l'appartement A, puisque c'est l'autre qui t'a ouvert. Et non pas deux, comme tu le considères toi. Et pour reprendre tes termes : "Des 4 cas initialement possibles, il en reste deux, équiprobables":
Non, tu te trompes. Il n'y a pas deux cas équiprobables.
Soit on raisonne en cas équiprobables et alors les deux cas de l'appart A ne fusionnent pas en un seul. Ils sont différents, et
chacun d'entre eux a exactement la même probabilité que le cas numéro 4.
Si on est dans l'appart A, il n'y a certes qu'une autre blonde dans l'appart, mais ce peut être la 1 ou la 2 : deux cas.
Pour t'en convaincre, imagine une différence entre les boules, par exemple une est pleine et l'autre creuse.
Ca nous donne les quatre cas initialement équiprobables.
- appart A boule 1 (blonde pleine). Dans ce cas, il reste dans l'appart 1 blonde creuse, donc proba que la suivante soit blonde = P1= 1
- appart A boule 2 (blonde creuse). Dans ce cas, il reste dans l'appart 1 blonde pleine, donc proba que la suivante soit blonde = P2 = 1
- appart B boule 1 (brune) : cas impossible après ouverture de la porte
- appart B boule 2 (blonde creuse) : Dans ce cas, il reste dans l'appart une boule brune, donc proba que la suivante soit blonde = P3 = 0
Après ouverture, il reste bien trois cas différents, équiprobables, ce qui nous amène à la proba 2/3 d'avoir une blonde en deuxième tirage.
Soit on agglomère les deux cas de l'appart A, comme tu le fais, mais alors le cas résultant est plus probable que le cas numéro 4. En effet, les deux cas possibles de l'appart A sont mutuellement exclusifs, et par conséquent la proba de leur union est la somme de leurs probas (voir ci-dessous l'analyse du raisonnement correspondant).
B.Verkiler a écrit:- je suis dans l'appartement A et la boule qui reste est blonde avec une proba P1 = 1
- je suis dans l'appartement B et la boule qui reste est blonde avec une proba P2=0
P=1/2*P1+1/2*P2 = 1/2*1+1/2*0= 1/2
Tu utilises ici une autre approche, correcte, mais le calcul est faux. Tu démarres après ouverture de la porte, puisque tu sais qu'une blonde a ouvert (d'où P2=0). Les deux cas que tu énonces sont corrects, mais tu fais l'hypothèse erronée qu'ils sont équiprobables (cf le 1/2 dans le calcul de P).
Or ils ne le sont pas, cf. le théorème de la probabilité des causes.
Sachant qu'une blonde a ouvert, la proba d'être dans l'appart A est double de celle d'être dans B, parce que le taux de blondes est double dans A que dans B.
Tu peux observer expérimentalement le mécanisme avec 2 tas de 10 cartes (10 rouges dans un tas, 1 rouge et 9 noires dans l'autre); tu les places sous un torchon, tu les inverses plusieurs fois, et tu tires une carte dans l'un des tas au hasard. Si tu as tiré une carte rouge, tu peux constater que, environ 9 fois sur 10, tu as choisi le tas contenant 10 rouges.
C'est pareil avec les apparts: sachant qu'une blonde a ouvert, la proba d'être dans l'appart A contenant deux blondes est 2/3, celle d'être dans l'appart B contenant 1 blonde et une brune est 1/3.
Donc, avec tes notations, P = 2/3 * P1 + 1/3 * P2 = 2/3 .
